(ط) في الرياضيات

باي (${\displaystyle {\pi }}$) أو ط  أو ثابت الدائرة هو ثابت رياضي يستخدم في علوم الرياضيات والفيزياء بشكل مكثف. والرمز  مأخوذ من الحرف الإغريقي الصغير باي. وهو عدد حقيقيغير كسري أي لا يمكن كتابته على شكل  حيث  و  عددان صحيحان. وهو أيضاً عدد متسامٍ أي غير جبري. يعرف هذا العدد أيضا باسم ثابت أرخميدس. ويساوي تقريبا 3.14159.

ط هو النسبة بين محيط الدائرة وقطرها وبمعنى أوضح محيط الدائرة يساوي (3.14159) مرة من قطرها. مُثل هذا الثابت بالحرف الإغريقي ${\displaystyle {\pi }}$ منذ منتصف القرن الثامن عشر. ولأن ${\displaystyle {\pi }}$ عدد متسامي فهذا يعني عدم إمكانية حل المعضلة القديمة جداً والمتمثلة في تربيع الدائرة.

ما أن تعريف باي يتعلق بالدائرة، فإنها موجودة بكثرة في صيغ حساب المثلثات والهندسة الرياضية، وخصوصا تلك التي تتعلق بالدوائر والإهليلجات والكرات. وهي موجودة أيضا في صيغ من مجالات أخرى من العلوم كالعلوم الكونية ونظرية الأعداد والإحصاء والهندسة الكسيرية والديناميكا الحرارية والميكانيكا والفيزياء الكهرومغناطيسية.

من المعروف أن الأعداد غير النسبية لا يمكن تمثيلها بكسر عشري منته، لكن من المعتاد تقريب النسبة ط بالقيمة ${\displaystyle 3.14}$ أو ${\displaystyle 22/7}$

هي نسبة محيط الدائرة C على قطرها d:

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$

نسبة C/d هي ثابته بغض النظر عن محيط أو مساحة الدائرة. هذا التعريف ل ${\displaystyle \pi }$ يستعمل بشكل غير مباشر مفهوم الهندسة الأقليدية المسطحة. رغم أن مفهوم الدائرة قد يمدد إلى الهندسة غير الإقليدية المنحنية، فإن هذه الدوائر الجديدة لا تحقق المعادلة ${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$. هناك تعريفات أخرى لا تستعمل نهائيا الدوائر. على سبيل المثال، ${\displaystyle \pi }$ هو ضعف أصغر عدد موجب حيث تنعدم دالة الجيب التمام.

الخصائص

بما أن ${\displaystyle {\pi }}$ عدد متسام، تربيع الدائرة غير ممكن في عدد منته من الخطوات باستعمال الأدوات الكلاسيكية المتمثلة في الفرجار والمسطرة.

π عدد غير جذري. هذا يعني أنه لا يمكن كتابته على شكل نسبة عددين صحيحين، ك 22/7، أو أي كسر آخر مستعمل تقريبا ل π. ولهذا السبب، فإن ل π عدد غير منته من الأرقام بعد الفاصلة في تمثيله العشري، وأنه لا توجد أي سلسلة من الأرقام تتكرر بشكل غير منته. هناك عدة براهين تثبت أن π عدد غير جذري.

π عدد متسام. هذا يعني أنه لا يمكن أن يكون جذرا لأي متعددة حدود غير منعدمة عواملها أعداد جذرية، كما هو الحال بالنسبة لمتعددة الحدود ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {x^{5}}{120}}-{\frac {x^{3}}{6}}+x=0.}$. لتسامي π نتيجتان مهمتان أولهما : لا يمكن أن يُعبر عن π بأي دمج لأعداد جذرية وجذور مربعة وجذور مكعبة وما يشبه ذلك ك ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{3}]{31}}}$ أو ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{2}]{10}}.}$. أما ثانيهما، فهو بما أنه يُستحال انشاء عدد متسام بواسطة  البركار والمسطرة، فإنه أيضا من المستحيل تربيع الدائرة.

الكسور المستمرة

العدد ط، كونه عددا غير جذري، لا يمكن تمثيله كسرا بسيطا. هذه الخاصية تبقى صحيحة بالنسبة لجميع الأعداد غير الجذرية. ولكن الأعداد غير الجذرية، بما في ذلك ط، يمكن تمثيلها بكسور متكررة تسمى الكسور المستمرة:

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\frac {1}{7+\textstyle {\frac {1}{15+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{292+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\textstyle {\frac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

ايقاف هذا الكسر المستمر في مستوى ما يعطي تقريبا معينا للعدد ط. استعمل الكسران 22/7 و 355/113 عبر التاريخ من أجل إعطاء قيمة مقربة للعدد ط. رغم عدم وجود أي انتظام أو تكرار في الكسر المستمر البسيط الذي يعطي قيمة العدد ط، فإن علماء الرياضيات وجدوا كسورا مستمرة معممة تحتوي على سلاسل عددية منتطمة أو متكررة. مثالا الكسور المستمرة التالية:

${\displaystyle \pi =\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{2+\textstyle {\frac {3^{2}}{2+\textstyle {\frac {5^{2}}{2+\textstyle {\frac {7^{2}}{2+\textstyle {\frac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\frac {1^{2}}{6+\textstyle {\frac {3^{2}}{6+\textstyle {\frac {5^{2}}{6+\textstyle {\frac {7^{2}}{6+\textstyle {\frac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\frac {1^{2}}{3+\textstyle {\frac {2^{2}}{5+\textstyle {\frac {3^{2}}{7+\textstyle {\frac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}}$